1、傅立叶变换性质

傅立叶变换性质如下：

1、线性性质，一种常见的性质。

2、位移性质，主要应用与平移。

3、相似性质，通过一个常数来改变周期。

4、微分性质，描述导数与傅里叶变换后的函数之间的关系。

5、积分性质。

6、卷积定理，在物理模型变换中，经常使用这个方法。

7、帕萨瓦尔等式（parserval）：主要应用于计算。

傅立叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。

傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。

2、傅里叶变换的十大性质

1. 线性性：傅里叶变换是线性的，即对于任意两个信号f(t)和g(t)，以及任意实数a和b，有F[af(t)+bg(t)]=aF[f(t)]+bF[g(t)]。

2. 对称性：傅里叶变换具有对称性，即f(t)的傅里叶变换F(ω)与F(-ω)对称。

3. 移位性：f(t)在时域上的移位，相当于在频域上进行相位旋转，即F[f(t-a)]=e^(-jωa)F[f(t)]。

4. 频率平移性：在时域上平移信号，会在频域上产生相位变化，即F[f(t)e^(jω0t)]=F[f(t)]*δ(ω-ω0)。

5. 时间反转性：f(-t)的傅里叶变换为F(-ω)，即信号的时间反转在频域上相当于频率反转。

6. 频率反转性：f*(-t)的傅里叶变换为F*(-ω)，即信号的复共轭在频域上相当于频率反转。

7. 卷积定理：时域上的卷积在频域上相当于乘积，即F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]。

8. 相关定理：时域上的相关在频域上相当于两个信号的乘积的傅里叶变换，即F[f(t)*g(-t)]=F[f(t)]*F[g(-t)]。

9. 能量守恒：信号在时域上的能量等于在频域上的能量，即∫|f(t)|^2 dt = ∫|F(ω)|^2 dω。

10. Parseval定理：信号在时域上的平均功率等于在频域上的功率谱密度积分，即∫|f(t)|^2 dt = (1/2π)∫|F(ω)|^2 dω。

3、傅里叶变换及其性质

对函数x（t）进行如下积分，并记为X（ω）：

地球物理数据处理基础

其中 这称为傅里叶正变换，X（ω）是x（t）的傅里叶变换。利用X（ω）可以重构信号函数x（t），即

地球物理数据处理基础

称为傅里叶反变换。两式组成一个傅里叶变换对。若t代表空间坐标变量，则ω就代表空间频率域的频率变量，因此称X（ω）为x（t）的频谱函数。

傅里叶变换的性质：设f（x），g（x）的傅里叶变换分别是F（ξ），G（ξ），那么

（1）线性 af（x）＋bg（x）的傅里叶变换是aF（ξ）＋bG（ξ）（a，b是常数）；

（2）褶积（或卷积）f（x）*g（x）＝∫∞－∞f（u）g（x－u）du的傅里叶变换是F（ξ）·G（ξ）；

（3）翻转 f（－x）的傅里叶变换是F（－ξ）；

（4）共轭 的傅里叶变换是

（5）时移（延迟） f（x－x0）的傅里叶变换是eix0ξF（ξ）；

（6）频移（调频） F（ξ－ξ0）是f（x）e－iξ0x的傅里叶变换（ξ0是常数）。

上面的定义都是连续型傅里叶变换，然而在地球物理实际计算中都是离散型数据，因此我们感兴趣的是数据是离散的情况，需要将上述傅里叶变换化为有限离散傅里叶变换对：

地球物理数据处理基础

其中N是数据点数。两个公式除了系数和指数的符号不同外，结构基本相同，式（8－3）为离散傅里叶变换（DFT），式（8－4）为离散傅里叶反变换（IDFT）。

4、傅里叶变换的性质

傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数 和 的傅里叶变换 和 都存在， 和 为任意常系数，则有

若函数 的傅里叶变换为 ，则对任意的非零实数 ，函数 的傅里叶变换 存在，且等于

对于 的情形，上式表明，若将 的图像沿横轴方向压缩 倍，则其傅里叶变换的图像将沿横轴方向展宽 倍，同时高度变为原来的 。对于 的情形，还会使得傅里叶变换的图像关于纵轴做镜像对称。 若函数 的傅里叶变换为 ，则存在

若函数 的傅里叶变换为 ，则对任意实数 ，函数 也存在傅里叶变换，且其傅里叶变换 等于

也就是说， 可由 向右平移 得到。 若函数 的傅里叶变换为 ，且其导函数 的傅里叶变换存在，则有

即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 。更一般地，若 的 阶导数 的傅里叶变换存在，则

即 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 。 若函数 以及 都在 上绝对可积，则卷积函数

的傅里叶变换存在，且

若 的傅里叶变换为 ， 的傅里叶变换为 ，则有

若函数 以及 平方可积，二者的傅里叶变换分别为 与 ，则有

上式被称为Parseval定理。特别地，对于平方可积函数 ，有

上式被称为Plancherel定理。这两个定理表明，傅里叶变换是平方可积空间 上的一个运算符（若不考虑因子 ）。

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