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概率密度函数,什么是概率密度函数?

2024-03-21 11:30分类: 国际预科留学 阅读:

1、什么是概率密度函数?

设:概率分布函数为:F(x)

概率密度函数为:f(x)

二者的关系为:f(x) = dF(x)/dx

即:密度函数f 为分布函数 F 的一阶导数。或者分布函数为密度函数的积分。

定义分布函数,是因为在很多情况下,我们并不想知道在某样东西在某个特定的值的概率,顶多想知道在某个范围的概率,于是,就有了分布函数的概念。

而概率密度,如果在x处连续的话。就是分布函数F(x)对x求导,反之,知道概率密度函数,通过负无穷到x的积分,也可以求得分布函数。

概率密度:

单纯的讲概率密度没有实际的意义,它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标,区间看成是横坐标,概率密度对区间的积分就是面积,而这个面积就是事件在这个区间发生的概率,所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的,它必须要有区间作为参考和对比。

以上内容参考:百度百科-概率密度

概率密度函数,什么是概率密度函数?

2、概率密度函数是什么

Y的概率密度函数为当1<y<3时,P(y)=1/2,y取其他值时,P(y)=0。

解:令Y的分布函数为FY(y)。

因为Y=2X+1,则

FY(y)=F(Y≤y)=F(2X+1≤y)=F(X≤(y-1)/2)。

当(y-1)/2≤0时,即y≤1时,F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=0。

当0<(y-1)/2<1时,即1<y<3时,F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=∫(0,(y-1)/2)dx=(y-1)/2。

当(y-1)/2≥1时,即y≥3时,F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=1。

所以Y的概率密度函数为

当y≤1时,P(y)=(0)\'=0。

当1<y<3时,P(y)=((y-1)/2)\'=1/2。

当y≥3时,P(y)=(1)\'=0。

因此随机变量Y服从(1,3)上的均匀分布。

单纯的讲概率密度没有实际的意义,它必须有确定的有界区间为前提。

可以把概率密度看成是纵坐标,区间看成是横坐标,概率密度对区间的积分就是面积,而这个面积就是事件在这个区间发生的概率,所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的,它必须要有区间作为参考和对比。

来源:百度百科-概率密度

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3、什么是概率密度函数?

密度函数指概率密度函数。

密度函数是一段区间的概率除以区间长度,值为正数,可大可小;而分布函数则是可以使用数学分析方法研究随机变量的一种曲线。密度函数一般只针对连续型变量,而分布函数则是既针对连续型也针对离散型随机变量。求解分布函数的时候要进行分类讨论和定积分计算,求解密度函数的时候需要进行求导。

概率密度和分布函数的区别是概念不同、描述对象不同、求解方式不同。

1、概念不同:概率指事件随机发生的机率,对于均匀分布函数,概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度,它的值是非负的,可以很大也可以很小;分布函数是概率统计中重要的函数,正是通过它,可用数学分析的方法来研究随机变量。

分布函数是随机变量最重要的概率特征,分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律,并且决定随机变量的一切其他概率特征。

2、描述对象不同:概率密度只是针对连续性变量而言,而分布函数是对所有随机变量取值的概率的讨论,包括连续性和离散型。

3、求解方式不同:已知连续型随机变量的密度函数,可以通过讨论及定积分的计算求出其分布函数;当已知连续型随机变量的分布函数时,对其求导就可得到密度函数。

对离散型随机变量而言,如果知道其概率分布(分布列),也可求出其分布函数;当然,当知道其分布函数时也可求出概率分布。

4、概率密度函数

连续型随机变量的概率密度函数(在不至于混淆时可以简称为密度函数)是一个描述这个随机变量的输出值,在某个确定的取值点附近的可能性的函数。

而随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候,累积分布函数是概率密度函数的积分。概率密度函数一般以小写标记。

注意事项:

单纯的讲概率密度没有实际的意义,它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标,区间看成是横坐标,概率密度对区间的积分就是面积,而这个面积就是事件在这个区间发生的概率,所有面积的和为1。

所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的,它必须要有区间作为参考和对比。

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